Matemáticas en Excel: Ecuaciones de segundo grado

Las primeras apariciones en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que claro, la notación y forma de resolución de antaño dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podía resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia

En Grecia fue desarrollada por el matemático, Diofanto de Alejandría, Nada menos que después de 1500 años,quien es conocido como el padre del álgebra. Se debe su renombre a su obra ‘Arithmetica’, en esta realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tiene un valor racional. Otras de las mayores e importantes aportaciones fue la contribución en el campo de la notación.

Este mismo personaje dio la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado

Pero de nuevo habrían , otros 1700 años aproximadamente, hasta que un matemático Italiano llamado Niccolo Fontana. Este matemático demostró dos cosas:

Dada una ecuación de tercer grado, x3 + bx2 + cx + d = 0, haciendo el cambio de variable, x = t – b/3, se reduce a una ecuación del tipo x³ + px = q. En la que ha desaparecido el término de segundo grado.

Encontró y demostró la fórmula general para la resolución de ecuaciones del tipo x³ + px = q

Y así se ah seguido transmitiendo los conocimientos de estos destacados personajes, aun que cabe destacar que el resultado también fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo.

Pero poco duró el entusiasmo,pues en 1824 enunciaría y demostraría un Teorema que le haría pasar a la historia de las Matemáticas. Este teorema dice que no existe fórmula general para la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5. Hay que aclarar que el teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado quinto o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas,el teorema afirma que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales.

Y fue entonces cuando llegó Galois, un matemático Francés que vivió apenas 21 años y en ese tiempo fue capaz de dejar una teoría que marcaría los comienzos del álgebra moderna. Galois escribo una teoría, que por su complejidad en la época sería rechazada por matemáticos de prestigio como Furier o Lagrange. Y que trata de responder a la pregunta, ¿qué ecuaciones son resolubles usando únicamente los coeficientes de forma finita en operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales?

Pues creando nada más y nada menos que la Teoría de Grupos y ampliando en gran medida la Teoría de Cuerpos,dice lo siguiente: “Una ecuación es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois asociado es resoluble”

Formula

A continuación se muestra la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

El siguiente vídeo se mostraran los pasos para realizara y la obtención de la misma.

Enseguida se mostrara un ejemplo de un problema de razonamiento que condujo a una ecuación de segundo grado.

Toño Realizo un viaje de 4 hrs para visitar a su novia Pamela. Recorrió 126 km en motocicleta y 230 Km en automóvil. La velocidad del auto fue 8 k/h mayor que en la motocicleta.

Determinar la velocidad y tiempo de cada vehículo.

Aquí se encuentra una demostración de una gráfica obtenida de la fórmula general, mediante Excel

Donde la formula se desglosa de la siguiente manera