MÉTODO DE CRAMER. Determinantes 2x2

El teorema de Cramer  es un teorema de álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe dicho nombre en honor a Gabriel Cramer. Cabe resaltar que es de importancia teórica porque da una expresión explicita para la solución del sistema.

En el siguiente vídeo se muestra una explicación mediante este método.

A continuación tenemos cuatro ejemplos de ecuaciones con dos incógnitas resueltos en una hoja de excel.

I .-    
  2x + 3y = 5
  4x - 3y= 1

Esto se obtuvo acomodando primeramente las esucaciones, después se despeja, osea que todos los términos pasan al lado derecho para dejar a la 'Y' sola.
Se hace la tabulación de las coordenadas, y con las coordenadas que nos den como restado de la tabulación, se puede gráficar y encontrar el punto de intersección, que en este caso se puede observar que se encuentra en (1,1). Que gracias a este método se puede apreciar claramente en resultado, que a simple vista en la gráfica no se obtendría.

II.-
 -3x + 4y =   7
  5x + 3y = - 2

III.-
 4x + 2y = -3
 6x + 3y = +5

IV.-

Punto de equilibrio

El punto de equilibrio es donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados con la vente de un producto, no está perdiendo ni ganando, teniendo un determinado tiempo. Es decir es el monto o unidades de venta en que la empresas puede cubrir costos fijos y los costos variables. Para calcular el punto de equilibrio se debe tener el precio de venta unitario = costos fijos/ cantidad producida en equilibrio. Si se conoce los costos fijos y tienes el precios de venta, entonces por despeje se calcula la cantidad que de ser producida en equilibrio. Luego que tienes el resultado de ellos, pasas a gratificar, y de modo al tanteo observas donde se está dando el punto de equilibrio, y a partir de ahí veras si el resultado es de ganancias o pérdidas. 

Punto de equlibrio 2 ecuaciones 2 incógnitas from Matematica de Samos


A continuación se mostraran ejemplos donde se debe encontrar el punto de equilibrio.

Primera parte de problema
La fabrica de computadoras HAL-9000 se incurre en costos fijos de $750,000 pesos mensuales para fabricar el modelo netbook 2012, la cuál tiene un costo unitario de manufactura de $2,00 pesos.
Si cada unidad se vende al distribuidor en $3,500 pesos ¿Cual es el punto de equilibrio?

Para sacar el costo total se multiplico 2800*NP+75000
Costo total = costo fijo + costo variable(ct=cf + cu* numero de piezas)
Ingreso = proceso de venta por número de piezas (i=pv*np) (y=3500)
Para sacar el ingreso se multiplica (3500 * NP)


Segunda parte (encontrar el nuevo punto de equilibrio)

Debido a problemas de operación, el costo unitario de producción de la netbook-2012 aumentó a $3,020 si no se desea alterar el precio de venta, ¿Cuál es el nuevo punto de equilibrio?


3,020x+750,000

Debido a que el precio mayor no logra alcanzar al ingreso, no se obtiene ganancias ni perdidas, pero a un si no llega a alcanzar al punto de equilibrio y se mantiene constante, por lo que ahora la empresa debe comenzar a vender el producto con un precio mas elevado, para que exista un equilibrio con el punto.

Solamente la empresa netbook cambia el precio unitario para fabricar el producto y el costo total se deja con el mismo valor para poder verificar si el problema se encontraba en el para la fabricación. pero al darse cuenta se noto que el problema no estaba solucionado porque aun no se puede alcanzar el punto de equilibrio 

si el costo fijo se mantiene constante y el pronostico de ventas indica que se venderán 1,500 piezas por mes, ¿ Es posible mantener el precio de venta?

La empresa quiere lograr un punto de equilibrio para poder observar cuantas netbook se pueden vender y se debe ganar para poder comprender donde se encuentra el costo unitario y el costo de venta.

Tercera parte del problema

Uno de los componentes de la netbook-2012 se compra a un proveedor internacional. El jefe de ingeniería

dispone para fabricarlo dentro de la empresa a $80,000 pero se reduce el costo unitario de producción a $2,700 Si la demanda pronosticada sigue siendo de 1,500 piezas mensuales. ¿Es conveniente llevar a cabo el cambio de presupuesto?

primeramente haremos la gráfica, y ahí observaremos si lo es o no

Es correcta esta propuesto, es conveniente ya que el producto se esta vendiendo a bajo precio a diferencia de el precio anterior, y estamos obteniendo ganancia, ya que con un precio elevado, no tendriamo una buena venta.

Ecuaciones de segundo grado

Las primeras apariciones en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que claro, la notación y forma de resolución de antaño dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podía resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia

En Grecia fue desarrollada por el matemático, Diofanto de Alejandría, Nada menos que después de 1500 años,quien es conocido como el padre del álgebra. Se debe su renombre a su obra ‘Arithmetica’, en esta realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tiene un valor racional. Otras de las mayores e importantes aportaciones fue la contribución en el campo de la notación.

Este mismo personaje dio la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado

Pero de nuevo habrían , otros 1700 años aproximadamente, hasta que un matemático Italiano llamado Niccolo Fontana.  Este  matemático demostró dos cosas:

Dada una ecuación de tercer grado, x3 + bx2 + cx + d = 0, haciendo el cambio de variable, x = t – b/3, se reduce a una ecuación del tipo x³ + px = q. En la que ha desaparecido el término de segundo grado.

1. Encontró y demostró la fórmula general para la resolución de ecuaciones del tipo x³ + px = q

Y así se ah seguido transmitiendo los conocimientos de estos destacados personajes, aun que cabe destacar que el resultado también fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo.

Pero poco duró el entusiasmo,pues en 1824 enunciaría y demostraría un Teorema que le haría pasar a la historia de las Matemáticas. Este teorema dice que no existe fórmula general para la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5. Hay que aclarar que el teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado quinto o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas,el teorema afirma que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales.

Y fue entonces cuando llegó Galois, un matemático Francés que vivió apenas 21 años y en ese tiempo fue capaz de dejar una teoría que marcaría los comienzos del álgebra moderna. Galois escribo una teoría, que por su complejidad en la época sería rechazada por matemáticos de prestigio como Furier o Lagrange. Y que trata de responder a la pregunta, ¿qué ecuaciones son resolubles usando únicamente los coeficientes de forma  finita en operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales?

Pues creando nada más y nada menos que la Teoría de Grupos y ampliando en gran medida la Teoría de Cuerpos,dice lo siguiente: “Una ecuación es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois asociado es resoluble”

Formula

A continuación se muestra la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

El siguiente vídeo se mostraran los pasos para realizara y la obtención de la misma.

Enseguida se mostrara un ejemplo de un problema de razonamiento que condujo a una ecuación de segundo grado.

Toño Realizo un viaje de 4 hrs para visitar a su novia Pamela. Recorrió 126 km en motocicleta y 230 Km en automóvil. La velocidad del auto fue 8 k/h mayor que en la motocicleta.

Determinar la velocidad y tiempo de cada vehículo.

Aquí se encuentra una demostración de una gráfica obtenida de la fórmula general, mediante Excel

Donde la formula se desglosa de la siguiente manera

Problemas resueltos mediante la fórmula general, expresados en una gráfica de Excel.

Siguiendo el mismo procedimiento del paso anterior.

Problema 1

Problema 2

problema 3

Problema 4

Problema 5

Problemas basados del libro de algebra aplicada de Murphy Johnson y Arnold R. Steffensen

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5